Wahrscheinlichkeitsrechnung für Pokerspieler

In der Mathematik fällt Wahrscheinlichkeitsrechnung in den Bereich der Statistik. Da ein großer Teil der Entscheidungen beim Pokern auf Wahrscheinlichkeitsrechnung basiert, kann es nicht schaden, darüber etwas zu wissen. Das hilft, grundsätzlich zu verstehen worauf es ankommt. Es reicht aber auch aus, wenn man die Tabellen mit den Outs und notwendigen Pot Odds auswendig lernt. Wer diese grundlegenden Prinzipien nicht versteht und anwendet, der kann statt Poker auch gleich besser Lotto online spielen.

Hier eine kurze vereinfachte Grundlageneinführung der für das Pokerspiel relevanten Aspekte, an Beispielen erklärt.

Das Verständnis der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist zwar nicht unbedingt erforderlich, aber doch hilfreich. Erfolgreiche Pokerspieler sind häufig Menschen mit einer natürlichen Begabung für Mathematik, oder haben sich die Grundbegriffe der "Poker-Mathematik" angeeignet. Oder umgekehrt gesagt, wer nüchtern und mathematisch zu denken in der Lage ist, hat vor allem bei Limit Cash Games ausgezeichnete Voraussetzungen, mit Poker seinen Lebensunterhalt verdienen zu können.

Relevant sind die Prinzipien der Wahrscheinlichkeitsrechnung, weil man auf Dauer die gleichen Situationen im Poker immer wieder vorfindet. Wer langfristig gegen die geltenden Wahrscheinlichkeiten spielt, wird Geld verlieren. Allerdings gilt das sogenannte Gesetz der großen Zahl, das bedeutet dass eine annähernde „Gleichverteilung“ der möglichen Ereignisse erst nach einer entsprechend großen Anzahl von Versuchen eintritt.

Beispiele angewandter Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein vom Zufall bestimmtes Ereignis eintritt wird in der Mathematik in Prozent ausgedrückt. Auf vielen Pokerwebseiten wird die "englische" Darstellungsweise gewählt, bei der die Anzahl der "positiven" Ereignisse der Anzahl der "negativen" Ereignisse gegenüber gestellt wird (Beispiel: 8 Karos in einem Deck mit 47 Karten = Odds von 8:39). Die rein mathematische Darstellung in Prozent ist aber einfacher nachvollziehbar und daher meiner Meinung nach sinnvoller.

Beispiel Münzenwurf: Die Wahrscheinlichkeit für Kopf oder Zahl beträgt bei einem Münzenwurf je 50 %. Rechnerisch ist die Chance auf Kopf: Anzahl der Ereignisse (eins, nämlich Kopf) dividiert durch die Anzahl der möglichen Ereignisse (zwei, nämlich entweder Kopf oder Zahl). Wirft man eine Münze 10mal, so wird in der Regel nicht 5mal Kopf und 5mal Zahl kommen. Nach einer größeren Anzahl Würfen (100, 1000) werden sich die Werte jedoch mehr und mehr an die 50%-Marke annähern (das bereits erwähnte Gesetz der großen Zahl beginnt zu greifen).

Beispiel Würfel: hier beträgt die Zahl der möglichen Ereignisse 6. Die Chance eine 1 zu würfeln ist daher statistisch 1 dividiert durch 6, in Prozent 16,66%.

Beispiel Pokerkartenspiel: Es sind 52 Karten in einem Pokerdeck, somit ist die Chance, dass eine bestimmte Karte gezogen wird (z.B. die Karo 7) genau 1/52, d.h. 1,923%. Die Chance, dass eine gezogene Karte eine beliebige 7 ist, wäre demnach 4/52 = 7,692%, und die Chance dass eine beliebige gezogene Karte ein Karo ist 13/52 beträgt exakt 25%.

Konkretes Poker-Beispiel Wahrscheinlichkeitsrechnung:

Ihr habt nach dem Flop einen diamond (Karo) Flushdraw (zwei diamond cards in der Hand, zwei diamond cards auf dem Board). Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Turn die gewünschte 5. Karte zum Flush bringt?

Der Kartenstapel hat 52 Karten. Ihr kennt bereits 5 Karten (eure Pocket Cards und die 3 Karten auf dem Board), also beträgt die Zahl der unbekannten Karten nach dem Flop 47. Von diesen helfen Euch weiter alle Karo-Karten. Insgesamt gibt es davon 13, vier sind bereits auf dem Board und in Eurer Hand, es verbleiben somit 9 karos im Kartenstapel.

Wichtig: da Ihr nicht wisst, was die anderen Spieler haben, spielt nicht der tatsächliche Inhalt des Kartenstapels nach dem Flop die entscheidende Rolle, sondern die Anzahl der unbekannten Karten!

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Turncard ein Karo ist beträgt somit 9 dividiert durch 47, dass heißt etwa 19,2%.

Beim Pokern spielt aber besonders häufig die Wahrscheinlichkeit von zwei miteinander verbundenen Ereignissen eine Rolle.

Erster Fall: wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gewünschte Karo-Karte entweder auf dem Turn oder auf dem River kommt?
Bei diesen „entweder-oder" Ereignissen gilt, dass die Wahrscheinlichkeiten addiert werden.

Die Wahrscheinlichkeit für ein Karo auf dem Turn beträgt 19,2 %. Die Wahrscheinlichkeit für den Karo auf dem River beträgt (sofern der Turn eine Nicht-Karo Karte war) 9 dividiert durch 46 (da Ihr ja jetzt eine Karte mehr kennt, nämlich die Turncard), also 9/46 oder 19,6%. Addiert ergibt das 38,8 %. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass aus Eurem Flushdraw spätestens auf dem River ein Flush wird 38,8%.

Zweiter Fall: Was aber nun, wenn Ihr in dem obigen Beispiel nur eine Flushkarte auf dem Board getroffen habt? Bei diesem sogenannten Runner-Runner Flushdraw müssen sowohl die Turncard als auch die Rivercard Karos sein. Um die Wahrscheinlichkeit für diese "sowohl-als-auch" Konstellation zu ermitteln, müssen die Wahrscheinlichkeiten der Einzelereignisse miteinander multipliziert werden.

Wahrscheinlichkeit Karo auf dem Turn mal Wahrscheinlichkeit Karo auf dem River, d.h. 19,2 % mal 19,6 %, ergibt 3,8 %. Das bedeutet dass dieser Fall statistisch nur etwa einmal in etwa 25 Fällen eintritt.

Anmerkung:
Im vorliegenden Fall spielt für meine Entscheidung beim Poker natürlich eine Rolle, wie hoch meine höchste Pocket Card ist. Halte ich das Karo As und die Karo 2 (Nutflushdraw) bei einem Flush Draw (zwei Karo auf dem Board), dann spielt es keine Rolle ob womöglich sowohl Turn und River einen Karo bringen.

Mit 8d7d aber wäre die Konstellation unter Umständen fatal, da ich von einem anderen Spieler der zum Beispiel nur ein Karo As hat geschlagen würde. Korrekterweise müsste ich dann von den 38,8% noch einmal 3,8% abziehen (für die Fälle, bei denen meine Hand durch einen Runner-Runner Flush geschlagen wird) um auf der sicheren Seite zu sein.

Gewinnerwartung

Ein weiterer interessanter Aspekt der Statistik (Wahrscheinlichkeitsrechnung) ist der der Gewinnerwartung. Wie das funktioniert, kann man sehr schön am Beispiel Lotto erklären.

Angenommen, ein Lottotip (6 Zahlen) kostet 1 Euro und für 6 Richtige gibt es 1 Million Euro. Die Wahrscheinlichkeit, mit einem Tip 6 richtige zu bekommen, beträngt ca. 1 zu 13,5 Millionen (um das zu errechnen, muss man mit sogenannten "Fakultäten" rechnen können, aber das würde hier zu weit führen).

Die "Gewinnerwartung" meines Lottotips beträgt nun: ( 1 Million (möglicher Gewinn) geteilt durch (13,5 Millionen mal 1 (mein Einsatz)), das heißt die Gewinnerwartung beträgt nur etwa 7,4 Cent für meinen Euro Einsatz. Bitte beachten: Hier habe ich alle kleinere Gewinne ausser Acht gelassen - tatsächlich ist die Gewinnerwartung natürlich höher wegen der Chancen auf Dreier etc.

Beim Pokern ist die Gewinnerwartung sehr wichtig, wie aus dem folgenden Beispiel klar wird:

Ihr habt auf dem Button KT und einem Board von AJ26 einen Gutshot. Das heißt, Ihr habt vier Outs - die vier Damen. Die Wahrscheinlichkeit auf dem River eine Dame zu bekommen, ist 4/47 = 8,5%. Im Pot sind bereits 10 Dollar, und Ihr müßt 2 Dollar bringen um die Rivercard zu sehen. Ihr investiert also 2 Dollar und bekommt im Falle eines Treffers 12 Dollar. Die Gewinnerwartung Eures Calls ist  (12 x 8,5%) / 2 = 0,51 Dollar. Das bedeutet, dass Ihr auf Dauer durchschnittlich 0,49 $ pro Hand verlieren werdet, wenn Ihr bei einer solchen Hand immer callt.

Wer lernt, diese Theorie der Wahrscheinlichkeitsrechnung beim Poker anzuwenden, der hat ausgezeichnete Chancen, mit Pokern Geld zu verdienen.

Mit mathematisch orientierter, disziplinierter Spielweise hat ein intelligenter Spieler vor allem bei solchen Rooms Erfolg, die man als "loose" bezeichnen kann, d.h. wo viele Spieler mit schwachen Starthänden den Flop sehen - hierzu zählen insbesondere Rooms wie 888 Poker.

Wahrscheinlichkeiten für typische Poker Situationen

Hier einige wichtige Wahrscheinlichkeiten für typische Pokersituationen vor dem Flop als Orientierungshilfe.

Während die theoretische Seite der Wahrscheinlichkeitsrechnung sicher nicht jedermanns Sache ist, muß man diese Zahlen kennen und sein Spiel danach ausrichten.

Für das Spiel nach dem Flop orientiert man sich an der Tabelle aus dem Kapitel „Pot Odds“ der Einsteigersektion

Ihr habt diese Pocket Cards:       Status nach dem Flop    Wahrscheinlichkeit gesamt ca.
Zwei beliebige Karten kein Pair    mindestens ein Pair                          32 %
Zwei beliebige Karten kein Pair    Mindestens Split Two Pair                   2 %
Zwei beliebige Karten kein Pair    Mindestens Trips                                1 %
Zwei beliebige Karten kein Pair    Full House                                       0,1 %
Zwei beliebige Karten kein Pair    Quads                                           0,01 %
ein beliebiges Pocket Pair           mindestens Set (Drilling)                    12 %
ein beliebiges Pocket Pair           Full House                                       0,7 %
ein beliebiges Pocket Pair           Quads                                            0,25 %
Zwei beliebige Karten suited        2 Karten derselben Farbe                    11 %
Zwei beliebige Karten suited        3 Karten derselben Farbe                   0,8 %